Question

如圖所示，某飼養場要建造一間兩面靠墻的三角形露天養殖場，已知已有兩面墻的夾角為60°（即∠C=60°），現有可供建造第三面圍墻的材料60米（兩面墻的長均大于60米），為了使得小老虎能健康成長，要求所建造的三角形露天活動室盡可能大，記∠ABC=θ．
（1）問當θ為多少時，所建造的三角形露天活動室的面積最大？
（2）若飼養場建造成扇形，養殖場的面積能比（1）中的最大面積更大？說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理列出關系式，將c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面積公式求出面積的最大值，以及此時θ的值；
（2）利用弧長公式求出AC，再利用扇形面積公式表示出扇形面積，與第一問面積的最大值比較即可得到結果．

解答：解：（1）在△ABC中，由余弦定理：c²=60²=a²+b²-2abcos60°，
∴a²+b²-ab=3600，
∴3600+ab=a²+b²≥2ab，即ab≤3600，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

=

3

4

ab≤900

3

，
此時a=b，△ABC為等邊三角形，
∴θ=60°，（S_△ABC）_max=900

3

；
（2）若飼養場建造成扇形時，由60=

π

3

×AC，得AC=

180

π

，
∴S_扇形=

1

2

×60×

180

π

=

5400

π

，
∵900

3

=

5400

2 3

≤

5400

π

，
∴養殖場建造成扇形時面積能比（1）中的最大面積更大．

點評：此題考查了余弦定理，基本不等式的應用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．