Question

已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓C的一個焦點在拋物線的準線上，且橢圓C過點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）點A為橢圓C的右頂點，過點作直線與橢圓C相交于E，F兩點，直線AE,AF與直線分別交于不同的兩點M,N，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）由題設知橢圓中心在原點，一個焦點坐標為，且過點，于是可設出其標準方程,并用待定系數法求出的值進而確定橢圓的方程.
（2）當直線的斜率存在且不為零時，由題意可設直線的方程為，
與橢圓方程聯立組成方程組消去并結合韋達定理得到，據此可將化成關于的函數而求解.
注意對直線的斜率不存在及斜率為零的情況，要單獨說明.
解：（1）拋物線的準線方程為：     1分
設橢圓的方程為，則
依題意得，解得，.
所以橢圓的方程為.             3分
（2）顯然點.
（1）當直線的斜率不存在時，不妨設點在軸上方，
易得，，
所以.                              5分
（2）當直線的斜率存在時，由題意可設直線的方程為，,顯然 時，不符合題意.
由得.       6分
則.     7分
直線，的方程分別為：，
令，則.
所以，.    9分
所以 
 


.        11分
因為，所以，所以，即.
綜上所述，的取值范圍是.              13分