Question

已知函數f（x）=2x+1．
（I）解不等式；
（II）若x≠0，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）把函數f（x）=2x+1代入不等式，根據絕對值不等式的代數意義去絕對值符號，轉化為解一元一次不等式；把求得的結果求并集；（II）把函數f（x）=2x+1代入，根據絕對值的運算性質放縮不等式，即可證得結論．
解答：解：（I）原不等式可化為|2x+1|+|x-2|＞4
當x≤-時，不等式化為-2x-1+2-x＞4，
∴x＜-1，此時x＜-1；
當-＜x＜2時，不等式化為2x+1+2-x＞4，
∴x＞1，此時1＜x＜2；
當x≥2時，不等式化為2x+1+x-2＞4，
∴x＞，此時x≥2．
綜上可得：原不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（II）===•||x|-|y||=|1+||x|-|y||，
∵|1+|≥1，當y=0時取等號，
∴|1+||x|-|y||≥||x|-|y||≥|x|-|y|
因此≥|x|-|y|．
點評：考查絕對值的代數意義，去絕對值的過程體現了分類討論的思想方法，應用絕對值運算性質放縮不等式，防守方的應用，屬中檔題．