Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖均為矩形，在俯視圖的三角形中，三邊長度分別為3，4，5．
（1）若正視圖中MN=5，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是底邊的中點，求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得該三棱柱是直三棱柱，底面△A₁B₁C₁為直角三角形，再根據棱柱的體積公式求得結果．
（Ⅱ）連接BC₁，交B₁C于O，再連接OD，則OD為△BAC₁的中位線，故有OD∥AC₁．再根據直線和平面平行的判定定理證得AC₁∥平面CDB₁．

解答：解：（Ⅰ）由于三棱柱的正視圖和側視圖均為矩形，∴該三棱柱是直三棱柱，
在俯視圖中，A₁C₁=3，B₁C₁=4，A₁B₁=5，∴A1C12+B1C12=A1B12，
∴△A₁B₁C₁為直角三角形，
∴V=

1

2

×3×4×5=30．
（Ⅱ）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，連接BC₁，交B₁C于O，
連接OD，由于D為AB的中點，則OD為△BAC₁的中位線，
∴OD∥AC₁．
∵AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．

點評：本題主要考查求棱柱的體積，直線和平面平行的判定定理的應用，屬于中檔題．