Question

已知函數f(x2-3)=lg

x2

x2-6

．
（1）求函數f（x）的定義域；                 （2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的反函數；                     （4）若f[φ（x）]=lgx，求φ（3）的值．

Answer 1

分析：（1）整體代換的思路用換元法求解析式，設x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函數，求出f（t），即f（x）的表達式
（2）通過（1）的解析式判斷奇偶性，判斷定義域是否關于原點對稱，然后判斷f（-x）與f（x）之間的關系，根據函數奇偶性的定義進行證明．
（3）將f（x）看成關于x的方程，通過解方程求出x，然后將x，y互換得到f（x）的反函數．
（4）把φ（x）代入f（x）的解析式，求出φ（x）的值，把3代入φ（x）即可解出φ（3）的值．

解答：解：（1）設x²-3=t（t＞-3），
所以原函數轉化為f（t）=lg

t+3

t-3

，
由

t+3

t-3

＞0得定義域為{t|t＞3}
即f（x）=lg

x+3

x-3

，定義域為{x|x＞3}

（2）因為f（x）的定義域是（3，+∞）
所以函數f（x）是非奇非偶函數
（3）由f（x）=lg

x+3

x-3

得
x=

3(10y+1)

10y-1

(y∈(0，+∞))
所以f（x）的反函數是f-1(x)=

3(10x+1)

10x-1

(x∈(0，+∞))
（4）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg

φ(x)+3

φ(x)-3

=lgx
即：

φ(x)+3

φ(x)-3

=x
解得：φ（x）=

3x+3

x-1

則：φ（3）=6

點評：本題考查復合函數的定義域及單調性的求解，第三問為創新型題目，為中檔題