Question

已知函數f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）既有極大值又有極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據f′（1）=0可求a值，注意檢驗；
（Ⅱ）由題意可得f′（x）=0有兩個不等正根，根據二次方程根的分布可得a的不等式；

解答：解：f′（x）=-2x+a-

1

x

，
（I）由于f（x）在x=1處取得極值，所以f′（1）=-2+a-1=0，解得a=3，
經檢驗知，當a=3時，f（x）取得極值，所以a=3；
（II）令f′（x）=-2x+a-

1

x

=0，得2x²-ax+1=0，
由題意有

a 4 ＞0 △=a2-8＞0

，解得a＞2

2

，
∴a的取值范圍為（2

2

，+∞）．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、二次方程根的分布問題，屬基礎題．