Question

10、定義在（-∞，+∞）上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函數，下面五個關于f（x）的命題中：①f（x）是周期函數；②f（x）圖象關于x=1對稱；③f（x）在[0，1]上是增函數；④f（x）在[1，2]上為減函數；⑤f（2）=f（0），正確命題的個數是（　　）

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個

Answer 1

分析：由題意義在（-∞，+∞）上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），

解答：解：因為義在（-∞，+∞）上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），式子中的x 都被x+1代替可得：f（x+2）=-f（x+1）=f（x），利用函數周期的定義可知：該函數有周期T=2，又且f（x）在[-1，0]上是增函數，偶函數在對稱區間上單調性相反，利用條件可以畫一草圖分析如下：



由題意及圖形可知①⑤正確；②正確；③錯誤；④錯誤；
故選C

點評：此題考查了函數的周期的定義，偶函數在對稱區間上單調性相反這一結論，還考查了學生對于解決問題時的數形結合能力．