Question

若函數f（x）=（x+a）（bx+2a）（常數a、b∈R）是偶函數，且它的值域為（-∞，4]，則該函數的解析式f（x）=

 

．

Answer 1

分析：利用函數的定義域、值域的特點得到函數是二次函數；據函數是偶函數關于y軸對稱及二次函數的對稱軸公式得到方程求出a，b的值；將求出的值代入二次函數解析式求其值域驗證值域是否是（-∞，4]．

解答：解：由于f（x）的定義域為R，值域為（-∞，4]，
可知b≠0，∴f（x）為二次函數，
f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx²+（2a+ab）x+2a²．
∵f（x）為偶函數，
∴其對稱軸為x=0，∴-

2a+ab

2b

=0，
∴2a+ab=0，∴a=0或b=-2．
若a=0，則f（x）=bx²與值域是（-∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b=-2，又其最大值為4，
∴

4b×2a2

4b

=4，∴2a²=4，
∴f（x）=-2x²+4．
故答案為-2x²+4

點評：本題考查偶函數的圖象特點、二次函數的對稱軸公式、二次函數值域的求法．