Question

（2012•石景山區一模）甲、乙兩位同學進行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為

1

3

，乙每次投中的概率為

1

2

，每人分別進行三次投籃．
（Ⅰ）記甲投中的次數為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多投進2次的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定ξ的可能取值，求出相應的概率，即可得到ξ的分布列及數學期望Eξ；
（Ⅱ）利用對立事件，可得乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）設乙比甲多投中2次為事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次為事件B₁，乙恰投中3次且甲恰投中1次為事件B₂，
則A=B₁∪B₂，利用互斥事件的概率公式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）ξ的可能取值為：0，1，2，3．                         …（1分）
則P(ξ=0)=

C

0 3

(

2

3

)3=

8

27

；P(ξ=1)=

C

1 3

(

1

3

)(

2

3

)2=

4

9

；
P(ξ=2)=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

) =

2

9

；P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

…（4分）
∴Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．                …（5分）
（Ⅱ）利用對立事件，可得乙至多投中2次的概率為1-

C

3 3

(

1

2

)3=

7

8

．              …（8分）
（Ⅲ）設乙比甲多投中2次為事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次為事件B₁，乙恰投中3次且甲恰投中1次為事件B₂，
則A=B₁∪B₂，B₁，B₂為互斥事件．                     …（10分）
所以P（A）=P（B₁）+P（B₂）=

8

27

×

3

8

+

4

9

×

1

8

=

1

6

．
所以乙恰好比甲多投中2次的概率為

1

6

．                …（13分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，解題的關鍵是確定變量的取值，求出相應的概率．