Question

已知函數f（x）=x³-ax²+4（a∈R）．
（I）若x=

8

3

是f（x）的一個極值點，求實數a的值及f（x）在區間（-1，a）上的極大值；
（II）若在區間[1，2]內至少存在一個實數x，使得f（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由已知有f′（x）=3x²-2ax，
∵x=

8

3

是f（x）的一個極值點
∴f′(

8

3

)=3×(

8

3

)2-2a×

8

3

=0，解得a=4． …（2分）
于是f′（x）=3x²-8x=x（3x-8），令f′（x）=0，得x=0或x=

8

3

．

x	（-1，0）	0	（0， 8 3 ）	8 3	（ 8 3 ，4）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

于是當x=0時，f（x）在（-1，4）上有極大值f（0）=4．…（7分）
（Ⅱ）要使f（x）在區間[1，2]內至少有一個實數x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]內的最小值小于0．
∵f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x₁=0，x2=

2a

3

，
①當

2

3

a≤0即a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函數，
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得a＞

3

2

．這與a＜0矛盾，舍去．
②當0＜

2

3

a≤1即0＜a≤

3

2

時，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函數．
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得a＞

3

2

．這與0＜a≤

3

2

矛盾，舍去．
③當1＜

2

3

a＜2即

3

2

＜a＜3時，
當1≤x＜

2

3

a時，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，

2a

3

)上是減函數，
當

2

3

a≤x＜2時，f′（x）＞0，∴f（x）在[

2a

3

，1)上是增函數．
∴f(x)min=f(

2a

3

)=4-

4

27

a3＜0，解得a＞3．這與

3

2

＜a＜3矛盾，舍去．
④

2

3

a≥2即a≥3時，f′（x）＜0，f（x）在[1，2]上是減函數，
∴f（x）_min=f（2）=12-4a＜0，解得a＞3．結合a≥3得a＞3．
綜上，a＞3時滿足題意．…（12分）