Question

觀察（xⁿ）′=nx^n-1，（sinx）=cosx，（cosx）′=-sinx，是否可判斷，可導的奇函數的導函數是偶函數，可導的偶函數的導函數是奇函數．

Answer 1

【答案】分析：由（xⁿ）′=nx^n-1，（sinx）=cosx，（cosx）′=-sinx，可以可導的奇函數的導函數是偶函數，可導的偶函數的導函數是奇函數，利用f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）并對其求可得證．
解答：解：根據題意，分析可得結論為：可導的奇函數的導函數是偶函數，可導的偶函數的導函數是奇函數．
證明：（1）設f（x）為可導的偶函數，則有f（-x）=f（x）
對其兩邊求導得：-f′（-x）=f′（x），所以f′（x）為奇函數；
（2）設f（x）為可導的奇函數，則有f（-x）=-f（x）
對其兩邊求導得：-f′（-x）=-f′（x），所以f′（x）為偶函數．
點評：考查學生利用導數運算的能力，以及掌握函數的奇偶性的判斷能力．