Question

已知定義域?yàn)镽的二次函數(shù)f（x）的最小值為0且有f（1+x）=f（1-x），直線g（x）=4（x-1）被f（x）的圖象截得的弦長為，數(shù)列{a_n}滿足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（1）函數(shù)f（x）；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的最值及相應(yīng)的n．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)f（x）=a（x-1）²（a＞0），則直線g（x）=4（x-1）與y=f（x）圖象的兩個交點(diǎn)為（1，0），，由，由此得到f（x）．
（II）由（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，知（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，所以a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（III）b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）=．令則．?dāng)?shù)列{b_n}的最值及相應(yīng)的n．
解答：解：（I）設(shè)f（x）=a（x-1）²（a＞0），則直線g（x）=4（x-1）與y=f（x）圖象的兩個交點(diǎn)為（1，0），∵∴a=1，f（x）=（x-1）²…（3分）
（II）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0∴
（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列
∴…（9分）
（III）b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）=
令則∵n∈N^*，
∴u的值分別為…，經(jīng)比較距最近，
∴當(dāng)n=3時，b_n有最小值是，當(dāng)n=1時，b_n有最大值是0．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．