Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，，平面平面，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據平面與平面垂直的性質，結合線面垂直性質即可判定；

（2）取中點O，連接，，可證明，進而建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由空間向量法求得二面角的余弦值.

（1）證明：在四棱錐中，

因為平面平面，平面平面，

又因為，平面，

所以平面，

因為平面，

所以.

（2）取中點O，連接，，

因為，所以.

因為平面平面，平面平面，

因為平面，所以平面，所以，.

因為，，，所以，，

所以四邊形是平行四邊形，所以.

如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，，.

，.

設平面的法向量為，則

即令，則，，所以.

因為平面的法向量，

所以

由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.