Question

若函數f（x）=|sinx|（x≥0）的圖象與過原點的直線有且只有三個交點，交點中橫坐標的最大值為α，則

(1+α2)sin2α

α

=

 

．

Answer 1

分析：先根據題意畫圖，然后令切點為A（α，-sinα），α∈（π，

3π

2

），在（π，

3π

2

）上，根據切線的斜率等于切點處的導數建立等式關系，即可求出α=tanα，代入所求化簡即可求出所求．

解答：解：函數f（x）=|sinx|（x≥0）與直線有且只有三個交點如圖所示，
令切點為A（α，-sinα），α∈（π，

3π

2

），在（π，

3π

2

）上，f'（x）=-cosx
∴-cosx=-

sinα

α

即α=tanα，
故

(1+α2)sin2α

α

=

(1+tan2α)sin2α

tanα

=

sin2α

sinαcosα

=2
故答案為：2

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及三角函數的運算，屬于中檔題．