Question

已知函數f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin2x．
（1）求f（x）的周期；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數中的恒等變換可將f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x轉化為f（x）=sin（2x+

π

6

），從而可求f（x）的周期；
（2）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函數的單調性質即可求得f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x
=cos2x+

3

sin2x…2分
=2sin（2x+

π

6

）…4分
∴T=π…5分
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]…6分
∴-1≤sin（2x+

π

6

）≤2．
∴f（x）_max=4…8分
f（x）_min=-2…10分

點評：本題考查三角函數中的恒等變換及正弦函數的單調性，考查輔助角公式，求得f（x）=sin（2x+

π

6

）是關鍵，屬于中檔題．