Question

設f（x）=xlog_ax+（1-x）log_a（1-x）（a＞1）
（1）判斷f（x）的單調性；
（2）已知m+n=4，且m＞0，n＞0，求mlog₄m+nlog₄n的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，令f′（x）=log_a

x

1-x

=0得x=

1

2

，利用導數的正負，即可確定函數的單調性；
（2）由（1）知，f（x）在x=

1

2

處取最小值，f（x）_min=f（

1

2

）=log_a

1

2

，令m=4m₁，n=4n₁，則m₁+n₁=1，所以mlog₄m+nlog₄n=4[1+m₁log₄m₁+（1-m₁）log₄（1-m₁）]，由此可得結論．

解答：解：（1）由f′（x）=log_ax+

1

lna

-log_a（1-x）-

1

lna

=log_ax-log_a（1-x）=log_a

x

1-x

令f′（x）=0得x=

1

2

∵a＞1，∴當0＜x＜

1

2

時，0＜

x

1-x

＜1，f′（x）＜0；同理，當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，

1

2

）上遞減，在（

1

2

，1）上遞增…（6分）
（2）由（1）知，f（x）在x=

1

2

處取最小值，f（x）_min=f（

1

2

）=log_a

1

2

令m=4m₁，n=4n₁，則m₁+n₁=1，所以mlog₄m+nlog₄n=4[1+m₁log₄m₁+（1-m₁）log₄（1-m₁）]≥4（1+log₄

1

2

）=2
∴mlog₄m+nlog₄n的最小值為2．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查最值的求解，解題的關鍵是求導確定函數的最值．