Question

11．定義在實數集R上的函數f（x）都可以寫為一個奇函數g（x）與一個偶函數h（x）之和的形式，如果f（x）=2^x+1，那么（　　）

• A． $g（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{2}$，$h（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$
• B． $g（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{2}$，$h（x）=1+\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$
• C． $g（x）=1+\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{2}$，$h（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$
• D． $g（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}+1}}{2}$，$h（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}+1}}{2}$

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的定義建立方程關系進行求解即可．

解答 解：∵f（x）都可以寫為一個奇函數g（x）與一個偶函數h（x）之和的形式，
∴f（x）=g（x）+h（x），
則f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
則g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$，h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$，
∵f（x）=2^x+1，
∴g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$=1+$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$，
故選：B

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，根據函數奇偶性的性質，建立方程組關系是解決本題的關鍵．