Question

設定義在區間[-1，1]上的偶函數f（x）與函數g（x）的圖象關于直線x=1對稱，且當x∈[2，3]時，g（x）=

a

3

(x-2)-4(x-2)3 （0＜a＜36），求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：根據函數是一個偶函數，f（x） 在區間[-1，1]上的最大值與最小值，實際上分別等于f（x） 在區間[-1，0]上最大值與最小值，f（x）與函數g（x）的圖象關于直線x=1對稱，f（x） 在區間[-1，0]上最大值與最小值，也就是g（x）在區間[2，3]上的最大值與最小值，利用導數求g（x）在區間[2，3]上的最大值與最小值，得到結果．

解答：解：∵f（x）為定義在區間[-1，1]上的偶函數，
∴f（x） 在區間[-1，1]上的最大值與最小值，
實際上分別等于f（x） 在區間[-1，0]上最大值與最小值．
∵f（x）與函數g（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x） 在區間[-1，0]上最大值與最小值，也就是g（x）在區間[2，3]上的最大值與最小值．（4分）
g′(x)=

a

3

-12(x-2)2．
∵0＜a＜36，
∴g′（x）=0的二根為2±

a

6

，其中2＜2+

a

6

＜3，2-

a

6

＜2．
∴列表如下：

x	[2，2+ a 6 )	2+ a 6	(2+ a 6 ，3]
g′（x）	＞0	=0	＜0
g（x）	↗	a a 27	↘

∴(f(x))max=(g(x))max=g(2+

a

6

)=

a a

27

．(f(x))min=(g(x))min=min(g(2)，g(3))=

a 3 -4，0＜a≤12 0，12＜a＜36

（13分）

點評：本題考查導數在求最值中的應用和函數的奇偶性及對稱性，本題解題的關鍵是通過分析函數的性質，看出題目的實質，再利用導數求最值．