Question

一個均勻的正四面體面上分別涂有1、2、3、4四個數字，現隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數字分別為b、c．
（Ⅰ）記z=（b-3）²+（c-3）²，求z=4的概率；
（Ⅱ）若方程x²-bx-c=0至少有一根a∈1，2，3，4，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率．

Answer 1

分析：（I）由于我們要將均勻的面上分別涂有1、2、3、4四個數字的正四面體隨機投擲兩次，故基本事件共有4×4=16個，然后求出z=4時，基本事件的個數，代入古典概型公式即可得到結果．
（II）分類討論方程根分別為1，2，3，5時，基本事件的個數，然后代入古典概型公式即可得到結果．

解答：解：（Ⅰ）因為是投擲兩次，因此基本事件（b，c）共有4×4=16個
當z=4時，（b，c）的所有取值為（1，3）、（3，1）
所以P(z=4)=

2

16

=

1

8

（Ⅱ）①若方程一根為x=1，則1-b-c=0，即b+c=1，不成立．
②若方程一根為x=2，則4-2b-c=0，即2b+c=4，所以

b=1 c=2

．
③若方程一根為x=3，則9-3b-c=0，即3b+c=9，所以

b=2 c=3

．
④若方程一根為x=4，則16-4b-c=0，即4b+c=16，所以

b=3 c=4

．
綜合①②③④知，（b，c）的所有可能取值為（1，2）、（2，3）、（3，4）
所以，“漂亮方程”共有3個，方程為“漂亮方程”的概率為p=

3

16

點評：本題考查的知識是等可能性事件的概率，求出基本事件的總數和滿足某個事件的基本事件個數是解答本題的關鍵．