Question

對定義域是D_f．D_g的函數y=f（x）．y=g（x），
規定：函數h（x）=．
（1）若函數f（x）=，g（x）=x²，寫出函數h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）將f（x）=，g（x）=）=x²，代入h（x）=（2）利用雙勾函數的性質求得；（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=
解答：解：（1）h（x）=．
（2）當x≠1時，h（x）==x-1++2，
若x＞1時，則h（x）≥4，其中等號當x=2時成立
若x＜1時，則h（x）≤0，其中等號當x=0時成立
∴函數h（x）的值域是（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=
則g（x）=f（x+α）=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x-sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（sin2x+co2sx）（cos2x-sin2x）=cos4x．
另解令f（x）=1+sin2x，α=，
g（x）=f（x+α）=1+sin2（x+π）=1-sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（1+sin2x）（1-sin2x）=cos4x．
點評：本題主要考查求函數解析式和求最值以及構造函數等問題．