Question

已知△ABC的三個頂點在拋物線：x²=y上運動．
（1）求的焦點坐標；
（2）若點A在坐標原點，且∠BAC=，點M在BC上，且，求點M的軌跡方程；
（3）試研究：是否存在一條邊所在直線的斜率為的正三角形ABC，若存在，求出這個正三角形ABC的邊長，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線的方程，可得拋物線的焦點在y軸上，開口向上，故可得焦點坐標；
（2）設點M的坐標為（x，y），設出AB、AC方程與拋物線方程聯立，確定B、C的坐標，從而可得BC的方程，利用，即可求得點M的軌跡方程；
（3）設A、B、C的坐標，求得△ABC的三邊所在直線的斜率，若AB邊所在直線的斜率為，AB邊所在直線和x軸的正方向所成角為α（0°＜α＜90°），則tanα=，得出坐標之間的關系，即可求得|AB|．
解答：解：（1）由x²=y可得焦點在y軸的正半軸上，且2p=1，所以，焦點坐標為（0，）  …（3分）
（2）設點M的坐標為（x，y），AB方程為y=kx，由∠BAC=得AC方程為y=-，則得B（k，k²），同理可得C（-，）
∴BC方程為y-k²=恒過定點P（0，1），…（10分）
∴
∵
∴，
所以，-x×x+y（1-y）=0，即y²+x²-y=0（x≠0）
（3）設A（p，p²），B（q，q²），C（r，r²），△ABC的三邊所在直線AB，BC，CA的斜率分別是p+q，q+r，r+p------①…（12分）
若AB邊所在直線的斜率為，AB邊所在直線和x軸的正方向所成角為α（0°＜α＜90°），則tanα=，
所以                                         …（14分）
∴q-p=tan（α-60°）-tan（α+60°）=-----②
又p+q=tanα=--------------③…（16分）
所以，|AB|==  …（18分）
點評：本題考查拋物線的性質，考查軌跡方程的求解，考查向量知識的運用，考查直線的斜率的計算，綜合性強．