Question

已知l是過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點的平面AB₁D₁與下底面ABCD所在平面的交線．
（1）求證：D₁B₁∥l；
（2）若AB=a，求l與D₁間的距離．

Answer 1

（1）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁B₁∥BD，
∵BD?平面ABCD，D₁B₁?平面ABCD
∴D₁B₁∥平面ABCD．
又∵平面ABCD∩平面AD₁B₁=l，
∴D₁B₁∥l．

（2）解：在平面ABCD內，由D作DG⊥l于G，連接D₁G，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，得 D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥l，∵D₁D∩DG=D，∴l⊥平面D₁DG
∴D₁G⊥l，即D₁G的長即等于點D₁與l間的距離．
∵l∥D₁B₁∥BD，∴∠DAG=45°．
∴DG=a，在直角三角形D₁DG中，
則有 D₁G===a．
分析：（1）先證明由D₁B₁∥BD證明D₁B₁∥平面ABCD，再由線面平行的性質定理證明D₁B₁∥l．
（2）利用正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中線面垂直，作出并證明過點D₁與l垂線，在直角三角形中求出．
點評：本題考查了平行判定與性質定理的應用，用于線線平行于線面平行的轉化；求距離時考查了線面垂直和線線垂直的相互轉化，利用了線面垂直定義及判定定理．