Question

設函數f（x）=lnx-px+1，其中p為常數．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）當p＞0時，若對任意的x＞0，恒有在f（x）≤0，求p的取值范圍；
（Ⅲ）求證：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

(n∈N，n≥2)．

Answer 1

分析：（1）先求定義域，在函數定義域內連續可導，討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點．
（2）要使f（x）≤0恒成立，只需求函數的最大值，而該函數的最大值就是極大值f(

1

p

)=ln

1

p

≤0即可．
（3）先令p=1，由（2）知，lnx-x+1≤0，從而有lnn²≤n²-1，再進行求和，利用放縮法，然后用立項求和的方法進行求和即可得證．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-px+1定義域為（0，+∞），
∴f′(x)=

1

x

-p=

1-px

x

，
當p≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上無極值點
當p＞0時，令f′（x）=0，∴x=

1

p

∈（0，+∞），f′（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0， 1 p ）	1 p	（ 1 p ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

從上表可以看出：當p＞0時，f（x）有唯一的極大值點x=

1

p

（Ⅱ）當p＞0時，在x=

1

p

處取得極大值f(

1

p

)=ln

1

p

，此極大值也是最大值，
要使f（x）≤0恒成立，只需f(

1

p

)=ln

1

p

≤0，
∴p≥1
∴p的取值范圍為[1，+∞）
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，lnx-x+1≤0，
∴lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2
∴lnn²≤n²-1，
∴

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

≤(1-

1

22

)+(1-

1

32

)+…+(1-

1

n2

)=(n-1)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)=(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)=

2n2-n-1

2(n+1)

∴結論成立

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數恒等式與函數不等式問題，屬于難題，得分率不高．