Question

已知拋物線x²=4y，過點A（0，a）（其中a為正常數）任意作一條直線l交拋物線C于M，N兩點，O為坐標原點．
（1）求的值；
（2）過M，N分別作拋物線C的切線l₁，l₂，試探求l₁與l₂的交點是否在定直線上，證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線l方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理及向量的數量積公式，即可求的值；
（2）求導數，可得切線方程，聯立方程，即可得到l₁與l₂的交點在定直線y=-a上．
解答：解：（1）設直線l方程為y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由消去y得x²-4kx-4a=0，所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a
∴=-4ak²+4ak²+a=a
故．…（6分）
（2）求導數，可得，設l₁方程為，整理得
同理得l₂方程為…（9分）
聯立方程
x₂×（1）-x₁×（2）得，∴
故l₁與l₂的交點在定直線y=-a上．…（13分）
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，考查拋物線的切線，解題的關鍵是聯立方程，確定切線的方程，屬于中檔題．