Question

已知函數f（x）=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

（1）求f（x）的最小正周期，并求其圖象對稱中心的坐標
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由倍角公式和兩角差的正弦公式化簡解析式，再求出函數的周期，由正弦函數的對稱中心得2x-

π

3

=kπ，求出此函數的對稱中心的坐標；
（2）把2x-

π

3

作為一個整體，根據正弦函數的增區間和減區間，分別求出此函數的單調區間．

解答：解：（1）由題意得，f(x)=

1

2

sin2x-

3 (1+cos2x)

2

+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)，
∴f（x）的最小正周期是π，
由2x-

π

3

=kπ得，x=

π

6

+

kπ

2

（k∈z），
∴其圖象對稱中心的坐標（

π

6

+

kπ

2

，0）（k∈z），
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈z）得，
-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈z），
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈z）得，

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈z），
∴函數f（x）的單調增區間是[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈z），
減區間是[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈z）．

點評：本題考查了倍角公式和兩角差的正弦公式應用，正弦函數的性質綜合應用，以及整體思想．