Question

已知數列{a_n}是遞增數列，且對任意n∈N*都有a_n=2n²+kn恒成立，則實數k的取值范圍是

（-6，+∞）

．

Answer 1

分析：由已知中數列{a_n}是遞增數列，且對任意n∈N*都有a_n=2n²+kn恒成立，我們易構造一個關于k，n的不等式，而且可以得到該不等式恒成立，結合n∈N*，易求出實數k的取值范圍．

解答：解：∵a_n=2n²+kn
∴a_n+1=2（n+1）²+k（n+1）=2n²+（k+4）n+2+k
又∵數列{a_n}是遞增數列，
∴a_n+1＞a_n，即a_n+1-a_n=4n+2+k＞0恒成立
即k＞-（4n+2）恒成立
∵n∈N*
∴4n+2≥6
∴-（4n+2）≥-6
則k＞-6
即實數k的取值范圍是（-6，+∞）
故答案為：（-6，+∞）

點評：本題考查的知識點是數列的函數特性，二次函數的性質，其中根據已知條件將問題轉化為一個不等式恒成立問題是解答本題的關鍵．