Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100m處射擊，如果命令中記3分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可進行第二次射擊，但目標已在150m處，這時命中記2分，且停止射擊；若第二次仍未命中，不可以進行第三次射擊，此時目標已在200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若第三次都未命中，則記0分。已知射手甲在100m處擊中目標的概率為，他的命中率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的。

（1）求這名射手在三次射擊中命中目標的概率；

（2）設這名射手得0分的概率p₀；得1分的概率p₁；得2分的概率p₂；得3分的概率p₃。求的值（這名射手在這次射擊比賽中得分的數學期望）。

Answer 1

答案：
解析：

（1）方法一：記第一、二、三次射擊命中目標的事件為A、B、C。 三次都未命中的目標的事件為D。∴ 設在xm處擊中目標的概率為P(x)， ∴ ，∵ ，∴ k=5000。 ∴ ，，∴ 。 ∴這名射手在三次射擊中命中目標的概率為： 方法二：。 （2）∵ ；；。 ∴