Question

下列四個命題：
①在空間中，存在無數個點到三角形各邊的距離相等；
②在空間中，存在無數個點到長方形各邊的距離相等；
③在空間中，既存在到長方體各頂點距離相等的點，又存在到它的各個面距離相等的點；
④在空間中，既存在到四面體各頂點距離相等的點，又存在到它的各個面距離相等的點．
其中真命題的序號是

①④

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：對于①，過三角形的內心且垂直于該三角形所在平面的直線上任意一點到該三角形的各邊的距離都相等；對于②，假設存在點到長方形的各邊的距離相等，則該點到四個頂點的距離相等，該點必在過這個長方形的中心且與這個長方形所在的平面垂直的直線上，由此可知該長方形的長、寬相等，而對于任意的長方形而言其長、寬未必相等；對于③，若存在到長方體的各個面距離相等的點，則該長方體的長、寬、高相等，而對于任意的長方體而言其長、寬、高未必相等；對于④，以四面體的棱為一長方體的側面的對角線構造長方體，該長方體的體對角線的交點到該四面體的各頂點的距離相等；顯然該四面體的內切球的球心到其各面的距離相等，故可判斷．

解答：解：對于①，容易得知，過三角形的內心且垂直于該三角形所在平面的直線上任意一點到該三角形的各邊的距離都相等，因此①是真命題．
對于②，假設存在點到長方形的各邊的距離相等，則該點到四個頂點的距離相等，該點必在過這個長方形的中心且與這個長方形所在的平面垂直的直線上，由此可知該長方形的長、寬相等，而對于任意的長方形而言其長、寬未必相等，因此②是假命題．
對于③，長方體的體對角線的交點到各頂點的距離相等，若存在到長方體的各個面距離相等的點，則該長方體的長、寬、高相等，而對于任意的長方體而言其長、寬、高未必相等，因此③是假命題．
對于④，以四面體的棱為一長方體的側面的對角線構造長方體，可知該長方體的體對角線的交點到該四面體的各頂點的距離相等；顯然該四面體的內切球的球心到其各面的距離相等，因此④是真命題．
綜上所述，其中真命題的序號是①④
故答案為：①④

點評：本題以命題為載體，考查命題的真假判斷，解題時需要結合具體的幾何體，充分利用幾何體的性質一一判斷．