Question

【題目】已知，函數.

（1）求證：曲線在點處的切線過定點；

（2）若是在區間上的極大值，但不是最大值，求實數的取值范圍；

（3）求證：對任意給定的正數，總存在，使得在上為單調函數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出切點坐標及切線方程,切線恒過定點即與參數無關,令系數為,可得定點坐標；（2）,要使成為極大值,因此,又不是最大值,而在單增,單減,單增,因此,可求得的范圍；（3）在單增,單減,單增,又,所以要使在單調,只需,即,故存在.

試題解析：解：（1）證明：∵，∴

∵，∴曲線在點處的切線方程為，

即，令，則，

故曲線在點處的切線過定點

（2）解： ，

令得或

∵是在區間上的極大值，∴，∴

令，得或遞增；令，得遞減，

∵不是在區間上的最大值，

∴在區間上的最大值為，

∴，∴，又，∴

（3）證明： ，

∵，∴

令，得或遞增；令，得遞減，

∵，∴

若在上為單調函數，則，即

故對任意給定的正數，總存在（其中），使得在上為單調函數