Question

橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，過焦點F₁的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF₂的周長為    ；若A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），且△ABF₂的面積是4，則|y₂-y₁|的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先由橢圓方程求得長半軸，而△ABF₂的周長為AB+BF₂+AF₂，由橢圓的定義求解即可．根據△ABF₂的面積=△AF₁F₂的面積+△BF₁F₂的面積求得△ABF₂的面積=|y₂-y₁|進而根據內切圓半徑和三角形周長求得其面積，建立等式求得|y₂-y₁|的值．
解答：解：根據橢圓的定義AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a
∵AF₁+BF₁=AB，∴△ABF₂的周長為4a=16；
△ABF₂的面積=△AF₁F₂的面積+△BF₁F₂的面積=|y₂-y₁|（A、B在x軸的上下兩側）
又△ABF₂的面積=4，∴|y₂-y₁|=
故答案為16，
點評：本題主要考查橢圓的定義的應用，應用的定義的基本特征，是與焦點有關．考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質，關鍵是求出△ABF2的面積