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設函數f(x)是定義在x∈[-1,1]上的偶函數,函數g(x)的圖象與f(x)的圖象關于直線x=1對稱,且當x∈[2,3]時,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3
①求f(x)的解析式;
②是否存在正整數a,使f(x)的最大值為12?若存在求出a的值,若不存在說明理由.
(1)設f(x)的圖象上任意點(x,f(x)),
它關于直線x=1的對稱點(2-x,f(x))在g(x)的圖象上,
當x∈[-1,0]時,2-x∈[2,3],且g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3
∴f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3
當x∈(0,1]時,-x∈[-1,0),∴f(-x)=2ax-4x3
又∵f(x)是定義在x∈[-1,1]上的偶函數,
∴f(x)=2ax-4x3
f(x)=
-2ax+4x3      (-1≤x≤0)
2ax-4x3          (0<x≤1)

(2)假設存在正整數a,使函數f(x)的最大值為12,
又f(x)為偶函數,故只需研究函數f(x)=2ax-4x3在x∈(0,1]的最大值
令f′(x)=2a-12x2=0,得x=
a
6
(a>0)

a
b
∈(0,1],即0<a≤6
時:
x∈(0,
a
6
],f′(x)>0,f(x)
單調遞增,
x∈(
a
6
,1],f′(x)<0,f(x)
單調遞減,
[f(x)]max=f(
a
6
)=2a×
a
6
-4(
a
6
)
3
<2a×
a
6
≤12

故此時不存在符合題意的a,
a
6
>1,即a>6
時,f′(x)>0在(0,1]上恒成立,
則f(x)在(0,1]上單調遞增,
[f(x)]max=f(1)=2a-4
 

令2a-4=12,得a=8,
綜上,存在a=8滿足題意.
練習冊系列答案
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設函數f(x)是定義在(-∞,+∞)上的增函數,如果不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)對于任意x∈[0,1]恒成立,求實數a的取值范圍.

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1
3
)=1

(1)求f(
1
9
)

(2)若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范圍.

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(2)若a>3,試判斷f(x)在(0,1]上的單調性,并證明你的結論;
(3)是否存在a,使得當x∈(0,1]時,f(x)有最大值1?

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0
0

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|1-
1
x
0
x>0;,
x=0.

(1)求f(x)在(-∞,0)上的解析式.
(2)請你作出函數f(x)的大致圖象.
(3)當0<a<b時,若f(a)=f(b),求ab的取值范圍.
(4)若關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數解,求b,c滿足的條件.

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同步練習冊答案
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