Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB₁∥面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁-BD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證B₁A∥面BDC₁，欲證根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證B₁A與面BDC₁內(nèi)一直線平行即可，連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，根據(jù)中位線可知OD∥B₁A，又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁，滿足定理所需條件；
（2）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CC₁為x軸，CA為y軸，CB為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量和向量，設(shè)平面C₁DB的法向量為n=（x，y，z）可求出，而平面BDC的法向量為，根據(jù)向量的夾角公式可求出二面角C₁-BD-C的余弦值．
解答：（1）證明：連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，
則O為B₁C的中點(diǎn)，
∵D為AC中點(diǎn)，
∴OD∥B₁A，
又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁
∴B₁A∥面BDC₁（4分）

（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥面ABC，
則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC
如圖建系，則C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）
∴=（-3，1，0），=（-3，0，2）
設(shè)平面C₁DB的法向量為n=（x，y，z）
則n=（2，6，3）
又平面BDC的法向量為=（3，0，0）
∴二面角C₁-BD-C的余弦值：cos＜
點(diǎn)評：本題主要直線與平面平行的判定，以及利用空間向量的知識求二面角．涉及到的知識點(diǎn)比較多，知識性技巧性都很強(qiáng)．