Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若關于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間（0，2）上有兩上不等的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：要求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，就需要求函數(shù)的導數(shù)，但在函數(shù)解析式中有參數(shù)a所以先跟據(jù)函數(shù)在x=0處取得極值求的a=1，然后根據(jù)利用單數(shù)判斷單調(diào)性的步驟來做即可．在第二問中，先把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x），方程有兩個不等的實根也就相當于函數(shù)在（0，2）上有兩個不同的零點．根據(jù)函數(shù)零點的判斷，可得g（0）＜0，g（1）＞0，g（2）＜0．

解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+a）-x²-x
∴f′（x）=

1

x+a

-2x-1=

1-2x(x+a)-(x+a)

x+a

∵函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值
∴f′（x）=0，∴

1-a

a

=0∴a=1
          即f′（x）=

1-2x(x+1)-(x+1)

x+1

=

-2x(x+ 3 2 )

x+1

 （x＞-1）
          由f′（x）＞0得-1＜x＜0，由f′（x）＜0得 x＞0
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
（2）令g（x）=f（x）-（-

5

2

x+b）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，x∈（0，2）
     則g′（x）=

1

x+1

-2x+

3

2

     令g′（x）=0得x=1或x=-

5

4

（舍去）
     當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當1＜x＜2時g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上遞增，在（1，2）上遞減
    方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間（0，2）上有兩個不等的實根等價于函數(shù)g（x）在（0，2）上有兩個不同的零點
∴

g(0)＜0 g(1)＞0 g(2)＜0

?

-b＜0 ln2+ 1 2 -b＞0 ln3-1-b＜0

?

b＞0 b＜ln2+ 1 2 b＞ln3-1

∴ln3-1＜b＜ln2+

1

2

     即實數(shù)b的取值范圍是ln3-1＜b＜ln2+

1

2

點評：1、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的原理，掌握判斷方法和步驟；
2、如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有 f（a）f（b）＜0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上至少有一個零點，
即至少存在一個數(shù)c∈[a，b]使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的一個根．