Question

以知橢圓的兩個焦點分別為F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），過點的直線與橢圓相交與A，B兩點，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線AB的斜率；
（3）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線F₂B上有一點H（m，n）（m≠0）在△AF₁C的外接圓上，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，得，從而，由此可以求出橢圓的離心率．
（2）由題意知橢圓的方程可寫為2x²+3y²=6c²，設直線AB的方程為，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則它們的坐標滿足方程組，整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．再由根的判別式和根與系數的關系求解．
（III）解法一：當時，得，．線段AF₁的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是△AF₁C外接圓的圓心，因此外接圓的方程為．由此可以推導出的值．
解法二：由橢圓的對稱性可知B，F₂，C三點共線，由已知條件能夠導出四邊形AF₁CH為等腰梯形．由此入手可以推導出的值．
解答：（1）解：由F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，
得，從而
整理，得a²=3c²，故離心率
（2）解：由（I）得b²=a²-c²=2c²，
所以橢圓的方程可寫為2x²+3y²=6c²
設直線AB的方程為，即y=k（x-3c）．
由已知設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則它們的坐標滿足方程組
消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．
依題意，
而①
②
由題設知，點B為線段AE的中點，所以x₁+3c=2x₂③
聯立①③解得，
將x₁，x₂代入②中，解得．
（III）解法一：由（II）可知
當時，得，由已知得．
線段AF₁的垂直平分線l的方程為直線l與x軸
的交點是△AF₁C外接圓的圓心，
因此外接圓的方程為．
直線F₂B的方程為，
于是點H（m，n）的坐標滿足方程組，
由m≠0，解得故
當時，同理可得．
解法二：由（II）可知
當時，得，由已知得
由橢圓的對稱性可知B，F₂，C三點共線，
因為點H（m，n）在△AF₁C的外接圓上，
且F₁A∥F₂B，所以四邊形AF₁CH為等腰梯形．
由直線F₂B的方程為，
知點H的坐標為．
因為|AH|=|CF₁|，所以，解得m=c（舍），或．
則，所以．當時同理可得
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系和橢圓性質的綜合應用，難度較大，解題要注意公式的正確選取和靈活運用，避免不必要的性質．