Question

已知等比數列{a_n}中a₃=1，則其前5項的和S₅的取值范圍是（　　）

• A．[1，+∞）
• B．[-

  5

  4

  ，+∞)
• C．[5，+∞）
• D．（-∞，0）∪[5，+∞）

Answer 1

分析：設公比為q，則S₅=

1

q2

+

1

q

+1+q+q²=（

1

q2

+q²）+（

1

q

+q）+1，利用基本不等式或函數法求取值范圍即可．

解答：解：設公比為q，則S₅=

1

q2

+

1

q

+1+q+q²=（

1

q2

+q²）+（

1

q

+q）+1
當q＞0時，S₅≥2

1 q2 •q2

+2

1 q • q

+1=5，當且僅當q=1時，取到最小值5，∴S₅∈[5，+∞）
當q＜0時，令

1

q

+q=t（≤-2），則S₅=t²+t-1，在t≤-2上是減函數，當t=-2時取得最小值1，∴S₅∈[1，+∞）
S₅∈[1，+∞）∪[5，+∞）=[1，+∞）．
故選A．

點評：本題考查等比數列通項公式，基本不等式求最值、二次函數的性質，換元法．