Question

已知函數，其中a＞0且a≠1．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由解析式求出函數的定義域，再化簡f（-x），判斷與f（x）的關系，再下結論；
（2）取值x₁＜x₂，再作差f（x₁）-f（x₂）并代入解析式化簡，對a分類后討論式子的符號，再得到“f（x₁）-f（x₂）”的符號，根據函數單調性的定義下結論．
解答：解：（1）由題意得f（x）的定義域為R，
且，-------------（2分）
∴f（x）是奇函數．------------------------------------------------（4分）
證明：（2）設x₁＜x₂，則．--------------------（6分）
當a＞1時，，得f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
這時f（x）在R上是增函數；-------------------------------------------------------------（9分）
當0＜a＜1時，，得f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
這時f（x）在R上是減函數．-----------------------------------------（12分）
點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性的判斷方法，都是利用了定義證明，證明單調性時注意變形要徹底，直到能容易的判斷出符號為止，考查了分類討論思想．