Question

已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）若直線l過點（0，1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）設函數g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函數g（x）在區間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數的底數）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于（0，1）不是切點，故先假設切點，利用切點處得導數為切線的斜率，再根據過（0，1），從而可求切點的坐標，進一步可求切線的方程；
（Ⅱ）先確定函數的單調區間，再利用區間進行分類討論，從而求出函數再區間上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，x＞0，（2分）
設切點坐標為（x₀，y₀），則y₀=x₀lnx₀，切線的斜率為lnx₀+1，所以lnx0+1= 

y0+1

x0

，（4分）
解得x₀=1，y₀=0，所以直線l的方程為x-y-1=0．（6分）
（Ⅱ）g（x）=xlnx-a（x-1），則g′（x）=lnx+1-a，（7分）
解g′（x）=0，得x=e^a-1，所以在區間（0，e^a-1）上，g（x）為遞減函數，在區間（e^a-1，+∞）上，g（x）為遞增函數．（8分）
當e^a-1≤1，即a≤1時，在區間[1，e]上，g（x）為遞增函數，所以g（x）最小值為g（1）=0．（9分）
當1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2時，g（x）的最小值為g（e^a-1）=a-e^a-1．（10分）
當e^a-1≥e，即a≥2時，在區間[1，e]上，g（x）為遞減函數，
所以g（x）最小值為g（e）=a+e-ae．（11分）
綜上，當a≤1時，g（x）最小值為0；當1＜a＜2時，g（x）的最小值為a-e^a-1；當a≥2時，g（x）最小值為a+e-ae．（12分）

點評：本題考查導數的幾何意義，考查利用導數研究函數的最值，應用導數的幾何意義求切線時，注意點是否為切點．