Question

已知函數f（x）=x³-3x；
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求f（x）在區間[-3，2]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數f（x）=x³-3x的導函數f′（x），分別令f′（x）＞0和f′（x）＜0便可求出函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）分別求出兩個短點f（-3）和f（2）的值以及極值f（-1）和f（1）的值，比較一下便可求出f（x）在區間[-3，2]上的最大值和最小值．

解答：解：（I）∵f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令 f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若  x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數，f（x）在（1，+∞）上是增函數，
若  x∈（-1，1），則f'（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是減函數；

（II）∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴當x=-3時，f（x）在區間[-3，2]取到最小值為-18．
∴當x=-1或2時，f（x）在區間[-3，2]取到最大值為2．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性以及函數在閉區間上的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．