Question

（2011•許昌三模）已知橢圓C：

x2

2

+y2=1的左右焦點分別為F₁、F₂，下頂點為A，點P是橢圓上任意一點，圓M是以PF₂為直徑的圓．
（I）當圓M的面積為

π

8

時，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當圓M與直線AF₁相切時，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意求出橢圓的焦點坐標和下頂點A的坐標，設出P點坐標，利用兩點間的距離公式求出PF₂的長度，根據以PF₂為直徑的圓的面積為

π

8

列式求出P點坐標，則PA所在的直線方程可求；
（Ⅱ）寫出直線AF₁的方程，由中點坐標公式求出圓M的圓心坐標，再由圓心到直線的距離等于圓的半徑列出P的橫縱坐標的關系式，根據P在橢圓上得另一關系式，兩式聯立可求M的坐標，從而得到圓M的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知F₁（-1，0），F₂（1，0），A（0，-1），
設點P（x₁，y₁），則
|PF2|2=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+1-

x12

2

=

(x1-2)2

2

，
∴|PF₂|=

2

-

2

2

x1．
而圓M的面積為

π

8

，∴

π

8

=

π

8

(x1-2)2，∴x₁=1．
∴P（1，

2

2

）或P（1，-

2

2

）
故PA所在直線方程為y=(1+

2

2

)x-1或y=(1-

2

2

)x-1；
（Ⅱ）直線AF₁ 的方程為x+y+1=0，且M(

x1+1

2

，

y1

2

)到直線AF₁ 的距離為

| x1+1 2 + y1 2 +1|

2

=

2

2

-

2

4

x1．∴y₁=-1-2x₁．
聯立方程組得

y1=-1-2x1 x12 2 +y12=1

，∴x₁=0或x1=-

8

9

．
當x₁=0時，M（

1

2

，-

1

2

），
∴圓M的方程為(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．
當x1=-

8

9

時，M（

1

18

，

7

18

），
所以圓M的方程為(x-

1

18

)2+(y-

7

18

)2=

169

162

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法及數學轉化思想方法，考查了學生的運算能力，是有一定難度題目．