Question

設函數f（x）=ax³+bx²-3a²x+1（a，b∈R）在x=x₁，x=x₂處取得極值，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）若a=1，求b的值，并求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a＞0，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意f（x）=ax³+bx²-3a²x+1=x³+bx²-3x+1，求出其導數f'（x）=3x²+2bx-3，令f′（x）=0，求出極值點x=x₁，x=x₂利用|x₁-x₂|=2求出b值，并求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）不知a值，只知a＞0，由題意知x₁，x₂為方程3x²+2bx-3a²=0的兩根，得=2，求出a的范圍，因g（a）=9a²-9a³，求出g（a）的單調區間，從而求出a與b的關系，最后根據a的范圍確定b的范圍．
解答：解：f'（x）=3ax²+2bx-3a²．①（2分）
（Ⅰ）當a=1時，f'（x）=3x²+2bx-3；
由題意知x₁，x₂為方程3x²+2bx-3=0的兩根，所以．
由|x₁-x₂|=2，得b=0．（4分）
從而f（x）=x²-3x+1，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
當x∈（-1，1）時，f'（x）＜0；當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f'（x）＞0．
故f（x）在（-1，1）單調遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）單調遞增．（6分）
（Ⅱ）由①式及題意知x₁，x₂為方程3x²+2bx-3a²=0的兩根，
所以．從而|x₁-x₂|=2?b²=9a²（1-a），
由上式及題設知0＜a≤1．（8分）
考慮g（a）=9a²-9a³，．（10分）
故g（a）在單調遞增，在單調遞減，從而g（a）在（0，1]的極大值為．
又g（a）在（0，1]上只有一個極值，所以為g（a）在（0，1]上的最大值，且最小值為g（1）=0．所以，即b的取值范圍為．（14分）
點評：本小題主要考查函數的導數，單調性、極值，最值等基礎知識，考查綜合利用導數研究函數的有關性質的能力．