Question

（2012•淄博二模）設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意的x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1，則方程f（x）-log₂（x+2）=0的實數根的個數為

4

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Answer 1

分析：由題意可得出函數是周期為4的偶函數且x∈[-2，2]時，f（x）=2^|x|-1，由此可作出f（x）在實數集上的圖象，又方程f（x）-log₂（x+2）=0的實數根的個數即兩函數y=f（x）與y=log₂（x+2）的圖象的交點個數，由此將方程根的個數問題轉化為兩函數圖象交點個數的問題，作圖即可得出答案

解答：解：f（x）是定義在R上的偶函數，當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1
∴x∈[-2，2]時，f（x）=2^|x|-1
又對任意的x∈R，都有f（x）=f（x+4），故周期是4
方程f（x）-log₂（x+2）=0的實數根的個數即兩函數y=f（x）與y=log₂（x+2）的圖象的交點個數
如圖，由圖知，兩函數有四個交點
即方程f（x）-log₂（x+2）=0的實數根的個數為4
故答案為4

點評：本題考查了根的存在性及根的個數判斷，函數的周期性與偶函數的性質，解題的關鍵是把問題轉化為圖象問題解決，以形助數是函數類問題的常用方法，學習時要體會總結經驗與規律