Question

8．銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是P（單位：萬元）和Q（單位：萬元），它們與投入資金t（單位：萬元）的關系有經驗公式P=$\frac{1}{5}$t，Q=$\frac{3}{5}\sqrt{t}$．今將3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，其中對甲種商品投資x（單位：萬元），
（1）試建立總利潤y（單位：萬元）關于x的函數關系式；
（2）當對甲種商品投資x（單位：萬元）為多少時？總利潤y（單位：萬元）值最大．

Answer 1

分析 （1）通過設出甲投資以及乙投資的數目，設立函數表達式，根據函數式直接寫出定義域；
（2）對于（1）中的函數解析式，利用換元法轉化成一個二次函數的形式，最后結合二次函數的最值求法得出函數的最大值，從而解決問題．

解答 解：（1）$y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}\sqrt{3-x}$（0≤x≤3）…6分
（2）設$\sqrt{3-x}=t$，x=3-t²，因為0≤x≤3，所以$0≤t≤\sqrt{3}$，…8分$y=\frac{1}{5}（3-{t^2}）+\frac{3}{5}t=-\frac{1}{5}{t^2}+\frac{3}{5}t+\frac{3}{5}=-\frac{1}{5}{（t-\frac{3}{2}）^2}+\frac{21}{20}$.$（0≤t≤\sqrt{3}）$…12分
當$t=\frac{3}{2}$時，即 $x=\frac{3}{4}$時，${y_{max}}=\frac{21}{20}$．…13分
答：應甲種商品投資$\frac{3}{4}$萬元，對乙種商品投資$\frac{9}{4}$萬元時，總利潤最大，最大值為$\frac{21}{20}$萬元．…14分．

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，構造數學模型從而解決問題．需要對知識熟練的掌握并應用，屬于基礎題．