Question

數列{a_n}中，a₁＝8，a₄＝2且滿足a_n＋2＝2a_n＋1－a_n  n∈N

（1）求數列{a_n}的通項公式；

（2）設S_n＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a_n|，求s_n;

（3）設b_n＝ ( n∈N)，T_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n( n∈N)，是否存在最大的整數m，使得對任意n∈N，均有T_n＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）a_n＝10－2n（2）S_n＝  （n∈）（3）m的最大值為7．

解析:

（1）由a_n＋2＝2a_n＋1－a_n??

a_n＋2－a_n＋1＝a_n＋1－a_n，可知{a_n}成等差數列，d＝＝－2

－∴a_n＝10－2n

（2）由a_n＝10－2n≥0得n≤5

∴當n≤5時，S_n＝－n²＋9n

當n>5時，S_n＝n²－9n＋40

故S_n＝  （n∈N）

（3）b_n＝＝＝()

∴T_n＝ b₁＋b₂＋…＋b_n

    ＝[(1－)＋(－)＋(－)＋……＋(－)]＝(1－)＝

＞＞T_n－1＞T_n－2＞……＞T₁.

∴要使T_n>總成立，需<T₁＝恒成立，即m<8，（m∈Z）。故適合條件的m的最大值為7．