Question

已知函數f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1．
（1）若a=2，解關于x 的不等式f（x）≥0；
（2）若對于a∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，解一元二次不等式即可．（2）根據一元二次不等式不等式的性質，建立恒成立的等價條件，進行求解即可．

解答：解：（1）若a=2，不等式f（x）≥0等價為2x²-5x+3≥0，
解得x≥

3

2

或x≤1，
∴不等式f（x）≥0的解集為{x|x≥

3

2

，或x≤1}．
（2）∵ax²-（2a+1）x+a+1=a（x-1）²-（x-1），
令g（a）=a（x-1）²-（x-1），
則g（a）是關于a的一次函數，且一次項的系數為（x-1）²≥0，
∴當x-1=0時，f（x）=0不合題意；
當x≠1時，g（a）為[-2，2]上的增函數，
∵f（x）＜0恒成立，
∴只要使g（a）的最大值g（2）＜0即可，
即g（2）=2（x-1）²-（x-1）＜0，
解得1＜x＜

3

2

，
綜上，x的取值范圍是(1，

3

2

)．

點評：本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立問題，綜合性較強，考查學生的轉化能力．