Question

已知函數f（x）=xlnx
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設函數f（x）的最小值為M，求與曲線y=f（x）相切且斜率為e•M（其中e為常數）的切線方程．

Answer 1

分析：（I）先求函數的定義域，然后對函數求導可得f′（x）=lnx+1分別令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函數的單調增區間，單調減區間
（II）由（I）可知函數x=

1

e

取得最小值，從而可求故M=f（

1

e

），e•M=-1
設滿足條件的切點為（x₀，y₀），則根據導數的幾何意義可求切點坐標為（(

1

e2

，

-2

e2

)，進一步可得切線方程

解答：解：（I）函數的定義域為：（0，+∞）
對函數求導可得f′（x）=lnx+1
令f′（x）＞0可得x＞

1

e

f′（x）＜0可得0＜x＜

1

e

則函數的單調增區間為（

1

e

，+∞），單調減區間為（0，

1

e

）
（II）由（I）可知函數x=

1

e

取得最小值，故M=f（

1

e

）=-

1

e

，e•M=-1
設滿足條件的切點為（x₀，y₀），則根據導數的幾何意義有lnx₀+1=-1即x0=

1

e2

切點坐標為（(

1

e2

，

-2

e2

)
切線方程為y+

2

e2

=-(x-

1

e2

)
x+y+

1

e2

=0

點評：（1）想要求函數的單調區間，可先求函數的定義域，然后結合導數的符號進行求解，此類問題容易忽略對定義域的判斷
（2）利用導數的幾何意義設出切點坐標是解決該問題的關鍵