Question

（2013•浙江模擬）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

n2

an+b

，若a1=

1

2

，a2=

5

6

．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=

an

n2+n-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

n2

an+b

，a1=

1

2

，a2=

5

6

，建立方程，求出a，b的值，即可求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）利用Sn=

n2

an+b

，再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）由S1=a1=

1

2

，得

1

a+b

=

1

2

，由S2=a1+a2=

4

3

，得

4

2a+b

=

4

3

．
∴

a+b=2 2a+b=3

，解得

a=1 b=1

，故Sn=

n2

n+1

；               …（4分）
（2）當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

n2

n+1

-

( n-1 )2

n

=

n3-( n-1 )2(n+1)

n(n+1)

=

n2+n-1

n2+n

．…（7分）
由于a1=

1

2

也適合an=

n2+n-1

n2+n

．                           …（8分）
∴an=

n2+n-1

n2+n

；                                         …（9分）
（3）bn=

an

n2+n-1

=

1

n( n+1 )

=

1

n

-

1

n+1

．                     …（10分）
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．                                 …（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．