Question

已知拋物線C的方程為y²=2x，焦點為F，過拋物線C的準線與x軸的交點的直線為l。
（1）若直線l與拋物線C交于A、B兩點，且|FA|=2|FB|，求k的值；
（2）設點P是拋物線C上的動點，點R、N在y軸上，圓（x- 1）²+y²=1內切于△PRN，求△PRN面積的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意可知，，準線為
設直線l為
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由|FA|=2|FB|，得
即
由
得
故
解由①②③構成的方程組得x₁=1，
又由Δ=（k²-2）²-k⁴=4-4k²>0，得-1＜k＜1且k≠0，
故所求得的k值適合，
因此所求的k值為。
（2）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b>c，
∴直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
∵圓（x-1）²+y²=1內切于△PRN，
∴圓心（1，0）到直線PR的距離為1，
即
化簡得（x₀-2）b²+ 2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
由題意可知x₀>2，
所以b、c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根
∴
∴
∴
當且僅當x₀=4時取等號，
所以△PRN面積的最小值為8。