Question

已知數列{an}的首項a1=5，前n項和為Sn，且Sn+1=Sn+n+5（n∈N*）， （Ⅰ）證明數列{an+1}是等比數列； （Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函數f（x）在點x=1處的導數f′（1）并比較2f′（1）與23n2-13n的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可得， 兩式相減得，即， 從而， 當n=1時， 所以， 又， 所以， 從而，故總有，， 又， 從而，即數列是等比數列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 因為， 所以， 從而 ， 由上 =12，① 當n=1時，①式=0，所以； 當n=2時，①式=-12＜0，所以； 當時，n-1＞0， 又， 所以，即①＞0， 從而。