Question

已知f（x）=a•3^x+b•5^x，其中a，b∈R且ab≠0．
（1）若a＞0，b＜0，求使f（x+1）＞f（x）成立的x的取值范圍；
（2）若a=1，討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）可得 (

5

3

)x＜-

a

2b

，由此解得x的范圍．
（2）若a=1，f（x）=3^x+b•5^x，當b＞0時，函數f（x）在R上是增函數．當b＜0時，根據f′（x）＞0求得x的范圍，可得函數的增區間；再根據f′（x）＜0，解得x的范圍，可得函數的減區間．

解答：解：（1）若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）可得a•3^x+1+b•5^x+1＞a•3^x+b•5^x，
即 (

5

3

)x＜-

a

2b

，x＜log

5

3

(-

a

2b

)．
（2）若a=1，f（x）=3^x+b•5^x．
當b＞0時，函數f（x）在R上是增函數．
當b＜0時，令f′（x）＞0可得 (

5

3

)x＜-

ln3

bln5

，解得x＜log

5

3

(-

ln3

b•ln5

)．
令f′（x）＜0可得 (

5

3

)x＞-

ln3

bln5

，解得x＞log

5

3

(-

ln3

b•ln5

)．
故函數f（x）在（-∞，log

5

3

(-

ln3

b•ln5

) ）上是增函數，在（log

5

3

(-

ln3

b•ln5

)，+∞）上是減函數．

點評：本題主要考查指數不等式、對數不等式的解法，利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．