Question

圖為某少數民族最常見的四個刺繡圖案，這些圖案都是小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡（小正方形的擺放規律相同），設第n個圖形包含f（n）個小正方形．
（Ⅰ）求出f（5）的值；
（Ⅱ）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f（n+1）與f（n）之間的關系式，并根據你得到的關系式求出f（n）的表達式；
（Ⅲ）證明

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

＜

1

2

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理,歸納推理

專題：計算題,等差數列與等比數列,推理和證明

分析：（Ⅰ）由圖依次求出f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，f（5）=41；
（Ⅱ）由f（2）-f（1）=1+3；f（3）-f（2）=3+5；f（4）-f（3）=5+7；f（5）-f（4）=7+9歸納出f（n+1）-f（n）=（2n-1）+（2n+1）=4n；從而求f（n）；
（Ⅲ）

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

=

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

）=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）；從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，f（1）=1；
f（2）=5；
f（3）=13，
f（4）=25，
f（5）=41；
（Ⅱ）f（2）-f（1）=1+3；
f（3）-f（2）=3+5；
f（4）-f（3）=5+7；
f（5）-f（4）=7+9；
故f（n+1）-f（n）=（2n-1）+（2n+1）=4n；
故f（n）=1+4+8+12+…+4（n-1）
=2n（n-1）+1；
（Ⅲ）證明：

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

=

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

）
=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）
=

1

2

（1-

1

n

）＜

1

2

．

點評：本題考查了歸納推理的應用及裂項求和的應用，屬于中檔題．